Es lebe die Geometrie!

Lote gegenüberliegender Kanten beim Viereck
auf der Einheits-Kugel mit nicht komplanaren Eckpunkten

Die Gleitschau zeigt ein Viereck ABCD aus Punkten auf der Fläche der Kugel K vom Radius 1 um
den Koordinaten-Ursprung, die nicht alle vier in einer Ebene liegen. Die sechs Verbindungs-Kanten
sind schwarz mit weißem Mittelstreifen markiert. Zu jedem Paar gegenüberliegender Kanten gibt es
zwei zueinander polare Achsen, die rot, grün oder blau mit grauem Mittelstreifen gezeichnet sind. Um
auszudrücken, dass diese Lote hyperbolisch orthogonal auf den Kanten von ABCD auftreffen, sind
die Lotfußpunkte als Quadrate dargestellt. Jeweils drei der sechs Achsen schneiden sich paarweise
hyperbolisch orthogonal in einem Punkt. Diese vier Achsen-Schnittpunkte bilden darum ein
'Polar-Viereck'. Nur der orangefarbene Punkt mit schwarzem Zentum liegt im Innern von K, die
anderen drei Punkte liegen außerhalb von K.

Die Zeichnung zeigt 20 Punkte, nämlich 4 Eckpunkte von ABCD, 4 Eckpunkte des Polar-Vierecks
und 12 Lotfußpunkte. Dieser Punkte verteilen sich so auf die jeweils 6 Kanten-Geraden von ABCD
und dem Polar-Viereck, dass jeweils 4 auf einer dieser Geraden liegen. Die Punkte können dabei so
mit den vier Farben von ABCD gezeichnet werden, dass auf keiner Geraden eine Farbe mehrfach
vorkommt.

In dieser Animation werden zu der Figur der vorangehenden Zeichnung die Geraden zugefügt, die
drei Lotfußpunkte tragen. Anschließend werden die Lotfuß-Verbindungen und die Lotfußpunkte
isoliert dargestellt. Durch jeden dieser 12 Punkte gehen 4 dieser Geraden, und auf jeder dieser
18 Geraden liegen 3 dieser Punkte. Eine derartige Anordnung mit jeweils gleichen Anzahlen von
Geraden durch Punkte und Punkten auf Geraden wird 'Punkt-Geraden-Konfiguration' genannt.
Hier ist es eine -Konfiguration. Dabei ist eine Farbmarkierung möglich, bei der es in
jeder Farbe von ABCD gleich viele Punkte und Geraden gibt. Bei den Geraden durch einen Punkt
kommen diese Farben alle einmal vor. Die Farben der Punkte einer Geraden sind entweder alle
gleich oder es sind drei verschiedene.