Es lebe die Geometrie!

Zu jedem farbigen Pfeil q im Bild des Generators gehört eine Drehstreckung
oder eine Streckspiegelung a, je nachdem, ob ein Plus-Zeichen oder ein
Minus-Zeichen am Pfeil steht. Und zwar ist es die Drehstreckung
oder Streckspiegelung a, die den schwarzen Pfeil p, Startpfeil genannt, in den
farbigen Pfeil q abbildet. a ist durch p und den farbigen Pfeil q = a(p) eindeutig
festgelegt. In dem Sonderfall, dass kein Plus- oder Minus-Zeichen am farbigen
Pfeil steht, ist die zugeordnete Abbildung a die konstante Abbildung, die jeden
Pfeil auf den Pfeil q abbildet. Wenn der Generator n farbige Pfeile
enthält, sind dadurch n Abbildungen definiert. Die Figur der Stufe k
setzt sich aus Pfeilen zusammen, die zum Teil nur als Strecken ohne Pfeilspitzen
gezeichnet werden. Jeder dieser Pfeile ergibt sich dadurch, dass man k von
den Abbildungen hintereinanderschaltet und mit der dadurch
entstehenden Abbildung den Startpfeil p abbildet. Die hintereinander geschalteten
Abbildungen müssen dabei nicht verschieden sein.

Rechnerisch kann man die Drehstreckungen und Streckspiegelungen folgendermaßen
verarbeiten: Man führt ein Koordinatensystem ein, in dem der Startpfeil p vom Punkt
(0 ½ 0) zum Punkt (1 ½ 0) zeigt. Ein farbiger Pfeil zeigt dann von einem Punkt (a ½ b)
zu einem Punkt (a + c ½ b + d). Die Drehstreckung oder Streckspiegelung a wird
dann durch die Matrix beschrieben mit f = 1 für die
Drehstreckung und f = -1 für die Streckspiegelung (projektive Darstellung).
Punkte (x ½ y) beschreibt man durch den Vektor Das Bild eines
Punktes (x ½ y) ist dann durch den Vektor gegeben.

Die Figuren lassen sich auch ohne Verwendung von Abbildungen mit Hilfe von
rekursiven Prozeduren nach dem Turtle-Konzept zeichnen.

Wenn alle Pfeile eine Länge kleiner als 1 haben, konvergiert die Folge der
Figuren der n-ten Stufe für n gegen Unendlich gegen eine Punktmenge, die
als 'Fraktal' bezeichnet wird. Diese Punktmenge hat die besondere Eigenschaft,
dass jede der Abbildungen diese Menge in sich abbildet. Einen
Eindruck dieses Fraktals sollen die Figuren mit der Unterschrift 'Stufe gegen
Unendlich' vermitteln. Diese Figuren entstanden folgendermaßen:

Der Punkt (0 ½ 0) wurde mit einer Abbildung a abgebildet, die zufällig unter
den n Abbildungen ausgewählt wurde. Der Bildpunkt wurde
wiederum durch eine erneut zufällig gewählte Abbildung unter den
abgebildet, u.s.w.. Dieses Verfahren wurde einige zehntausend mal wiederholt.
Die Bildpunkte wurden jedoch erst ab dem 30. Bildpunkt gezeichnet.

Statt des Startpunkts (0 ½ 0) hätte man auch einen anderen Punkt des Startpfeils
wählen können, ohne ein wesentlich anderes Ergebnis zu bekommen. Bei der
zufälligen Auswahl der Abbildungen wurden Auswahlwahrscheinlichkeiten
proportional zum Quadrat der Pfeillänge benutzt.